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【自制平面传送带】关于用线或平面切割(用虚线分割平面)

作者:木子      发布时间:2021-04-12      浏览量:2
之前写过一些关于线段分割的公式,现

之前写过一些关于线段分割的公式,现在简单总结分析一下这类问题:(1)把N条直线最多分成平面的问题,大致类似于33,360条N条直线,一个平面最多可以分成多少个区域。分析你可能之前见过这个题目,顶多是个初中思维题。然而,简单地从一个类型的主题开始,就很容易找到它的规则。当有n-1条直线时,平面最多分为f(n-1)个区域。如果第n条直线的截面积最大,则必须与每条直线相交,不能有相同的交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条线分成两条射线和n-2条线段。并且每一条射线和换行都会将现有区域分成两部分。这样就多了2 (n-2)个区域。

(2)折线细分平面(hdu2050)根据直线细分平面,交点确定射线数和线段数,进而确定新增面积数。当有n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了增加最大面积,折线两侧的线段应与n-1条折线的边相交,即2(n-1)条线段相交。那么新线段数为4(n-1),射线数为2。然而,应该注意的是,只能将一个区域添加到折线本身的两个相邻线段上。

因此:f(n)=f(n-1) 4(n-1) 2-1

f(n-1) 4(n-1) 1

f(n-2) 4(n-2) 4(n-1) 2

……

=f(1) 4 4 2 …… 4(n-1) (n-1)

=2n^2-n 1

(3)闭合曲线平面的问题

比如一个平面上画有n条闭合曲线,任意两条闭合曲线相交于两点,任意三条闭合曲线不相交于同一点,就要问这些闭合曲线将平面分割成多少个区域。

分析:当有n-1个圆时,区域数为f(n-1)。那么第n个圆必须与前面的n-1个圆相交,第n个圆被分成2(n-1)段,加上2(n-1)个区域。

因此:f(n)=f(n-1) 2(n-1)

=f(1) 2 4 …… 2(n-1)

=n^2-n 2

根据二维分割问题,平面分割与线与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的数量,从而决定新区域的数量。想象一下是否与平面在三维空间的相交有关?当有n-1个平面时,划分的空间数为f(n-1)。为了具有最大数量的空间,第n个平面应该与前n-1个平面相交,并且不应该有公共交线。即最多有n-1条相交线。而这n-1条相交线最多把第n个平面分成g(n-1)个区域。(g(n)是(1)中直线子平面的个数)如果这个平面把原空间一分为二,最多增加g(n-1)个空间。

所以f=f(n-1)g(n-1)PS :g(n)=n(n-1)/21。

=f(n-2) g(n-2) g(n-1)

……

=f(1) g(1) g(2) …… g(n-1)

=2 (1**

2 23 3

4 …… (n-1)n)/2 (n-1)

=(1 2

2 3

2 4

2 …… n

2-1-2-3-……-n )/2 n 1

=(n^3 5n)/6 1